Алексей родился и вырос в семье, не связанной с искусством. Актера и его брата воспитывала мама, так как отец мальчиков погиб, когда те были совсем маленькими.
При рождении будущий актер получил совсем другое имя — Александр. Но мальчик совсем на него не реагировал, поэтому его стали называть Алешей. Но до 16 лет он все равно был Александром по паспорту.
К труду актер приучен с детства. Ему с ранних лет приходилось зарабатывать, причем иногда они с братом получали больше, чем мама. Юноши мыли машины в 1990-е, и особенно щедро за это платили бизнесмены-бандиты, которых в районе Солнцево, где жила семья, было достаточно много.
В студенческие годы актер успел побыть официантом, барменом и таксистом.
И даже после съемок в фильме «Война» Алексей не перестал подрабатывать. Тогда он получил гонорар за свою первую кинокартину, добавил еще денег и купил машину, на которой они с братом по очереди таксовали.
Братья Чадовы иногда спорили, но обычно конфликты быстро забывались. Но однажды они разругались аж на 2 года, а причиной стала девушка, которая понравилась обоим парням. Семейный конфликт был улажен, и братья снова стали дружить, отмечать праздники и сниматься вместе в кинопроектах.
При этом они признаются, что ссоры между ними есть до сих пор, как и дух соперничества.
Актерам нередко приходится выполнять в кадре опасные трюки, и с ними Чадов предпочитает справляться сам. Так, для съемок в картине «Молот» ему пришлось пройти курс подготовки по самбо и боксу, а на ринге встретиться со знаменитым спортсменом.